Les grêlons de Syracuse

(paru dans Arc en Ciel n° 144)

Divertissement numérique et/ou Casse-tête mathématique.

Divertissement ou casse-tête ? Chacun choisira en fonction de sa curiosité naturelle.

Commençons par un exercice simple ne réclamant ni outil particulier, ni connaissances mathématiques dépassant le programme de calcul de l’école primaire. Les Anciens pourront même, pour ce tout début, se souvenir des séances de calcul mental avec lesquelles nos maîtres d’école débutaient le programme du matin.

Le jeu, car à ce stade on peut encore parler d’un jeu, consiste à choisir un nombre a et s’il est pair, à le diviser par 2 (a/2) et s’il est impair, à le multiplier par 3 puis à ajouter 1 au résultat

((aX3)+1), et on recommence avec le nombre obtenu et ainsi de suite.

Pour débuter appliquons tout ceci au chiffre 1, ce qui nous conduit aux trois étapes suivantes:

1.      1 étant impair est multiplié par 3 et en ajoutant 1 au résultat  on obtient 4;

2.      4 étant pair est divisé par deux ce qui donne 2;

3.      2 étant pair est divisé par deux ce qui nous ramène à 1, notre point de départ.

Bien sûr, nous pouvons continuer, mais nous obtiendrons la suite sans fin :

 1, 4, 2, 1, 4, 2, 1, 4, 2, 1… et ainsi de suite.

Ne nous attardons pas sur ce cas quelque peu simpliste et attaquons-nous à des nombres plus importants, quitte cette fois à faire appel au crayon, au papier, voire à la calculette. Restons cependant modestes, car même avec cette dernière, la tâche devient rapidement fastidieuse. C’est ainsi qu’on pourra aisément obtenir toute une série de suites comme celles apparaissant dans ce tableau pour les valeurs de 3 à 9 :

Les deux dernières colonnes de droite font apparaître respectivement, le nombre de membres de chaque suite et la valeur maximale atteinte dans celle-ci.

On notera immédiatement que chacune de ces suites se termine par 1 (compte tenu de ce qui a été dit précédemment,  il n’a pas paru utile de faire apparaître la boucle infinie 1421421). On peut, dès lors, se poser la question : est-ce que  ce résultat est généralisable à des nombres plus grands ? Les courageux pourront reprendre leur calculette ; ceux-ci devront cependant rapidement s'effacer devant  les "titilleurs" de micros qui, eux, pourront s'attaquer à des nombres réclamant de longs calculs difficilement envisageables avec une  simple calculette. Un tableur Excel (ou  plus simple encore, comme les tableurs de Work sur PC ou de ClarisWork sur Mac) ou un petit logiciel programmé au moyen de VisualBasic sur PC ou RealBasic sur Mac, feront parfaitement l'affaire et permettront d'étendre cet exercice à des nombres de valeur respectable. Et là, surprise :  quelle que soit la valeur d'entrée, la suite créée se termine toujours, après un nombre de calculs plus ou moins grand, par l'unité. Il est dès lors tentant d'extrapoler gaillardement ce résultat à l'ensemble des nombres. C'est cependant aller un peu vite en besogne.

 Fini de jouer, nous entrons maintenant, dans le domaine des mathématiciens et chacun sait que les mathématiciens ne croient que dans ce qui a été démontré. Et c'est là que le bât blesse,  personne jusqu'ici, et ce malgré de nombreuses tentatives, n'a réussi à démontrer que ce que nous avons présenté jusqu'ici comme un aimable passe-temps, s'applique à l'ensemble des nombres. Alors si quelque Ancien, suffisamment courageux et fort en maths, veut avancer une démonstration, je lui souhaite bon courage et bonne chance tout en lui suggérant de la présenter non à Arc-en-ciel, mais à quelque aréopage de mathématiciens.[1]

Sans vouloir décourager les téméraires qui oseraient s'attaquer à ce problème, j'indiquerai cependant, "qu'aux dires de quelques mathématiciens parmi les plus grands de notre époque, ce problème ne sera pas résolu avant longtemps" et que le mathématicien Paul Erdos (1913-1996) a même déclaré que 'les mathématiques ne sont pas prêtes pour de tels problèmes".

Reste la possibilité de travailler à augmenter l'intervalle des nombres pour lesquels on a effectivement vérifié qu'ils conduisaient bien à des suites se terminant par 1421421…[2]. Mais là, on sort du domaine des micros pour entrer dans celui des gros calculateurs, un domaine difficilement accessible aux Anciens.

Il y aurait également beaucoup à dire sur la longueur des suites créées, et sur les valeurs maximales atteintes à l'intérieur de chaque suite. Les curieux pourront se reporter aux livres cités en note de bas de page ou se lancer dans un surf sur Internet où ils trouveront de nombreux sites traitant du sujet[3].

Suite du nombre 27

Ah, j'allais oublier : pourquoi ce titre à résonance météorologique. Simplement parce que quelque(s) mathématicien(s) américains a (ont) pensé que les mouvements des grêlons qui, au cours de leur croissance, montent et descendent plusieurs fois, avant de rejoindre le sol, matérialisent assez bien les fluctuations des termes de nos suites dont  la valeur "monte"et "descend" plusieurs fois, avant de rejoindre inéluctablement la valeur unité.

Oui, mais pourquoi de Syracuse : parce que nous sommes là encore dans le domaine de l'exception française qui a préféré à l'appellation " suite des grêlons" celle de "suite de Syracuse" pour honorer l'Université américaine qui s'intéressa à ces suites dès 1950.

Ne voulant pas trancher dans ce débat linguistique, j'ai lâchement adopté une solution mi-figue, mi-raisin qui satisfait, à la fois, la francophonie et la terminologie la plus répandue.[4]

                                                                                              Henri Treussart.